1.- Funciones Reales de Varias Variables
La representación Gráfica de una función z = f (x,y) es una superficie en R3 dentro de un dominio de Existencia f (x,y)
2.- Dominio de la función o Campo de existencia
- Análisis del dominio de definición
I.- Análisis Matemático
II.- Análisis Gráfico
En R2
En R3
III.- Análisis Descriptivo
El dominio de f (x,y) son todos los pares ordenados (x,y) tales que sean mayores o iguales a la recta y= -1 -x siendo siempre x diferente de -1.
3.- Curvas de Nivel
Las curvas de nivel de una función f(x,y), son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y) = k donde "k" es una constante en el rango de f(x,y)
Si las curvas de nivel se representan en R3, entonces se denominan: Curvas de Contorno
4.- Límites y Continuidad
Observaciones:
2. Si por 2 o más caminos o trayectorias el valor del limite tiene el mismo valor se supone que el limite existe y se debe proceder a demostrar su existencia.
3. Los caminos elegidos para evaluar el limite deben contener al punto (a,b) de interés.
Demostración de la Existencia del Límite:
Para demostrar la existencia de un límite de una función de 2 variables se puede: transformar la función a coordenadas polares y aplicar la definición de límite de una función.
5.- Límites y Continuidad
Si no se cumple alguna de las condiciones entonces se dice que f(x,y) es discontinua en (a,b) y puede ser:
6.- Derivadas Parciales
En R2
Derivada de Primer Orden Global o Total
En R3
Observaciones:
- Cuando derivamos parcialmente con respecto a "x", la variable "y" se asume como constante.
- Cuando derivamos parcialmente con respecto a "y", la variable "x" se asume como constante.
- Se aplican todas las reglas de derivación de las funciones de 1 sola variable.
7.- Interpretación Geométrica de las Derivadas Parciales
Plano YOZ
Pendiente de la Recta Tangente en el punto (x,y)
Plano XOZ
Pendiente de la recta tangente en el punto (x,y)
7.- Interpretación Física
Las derivadas parciales de z = f(x,y) representan las razones de cambio de la variable z cuando "x" varia manteniendo fijo "y". En el otro caso, la razón de cambio de z cuando "y" varia manteniendo fijo "x".
Se puede hablar de etapas o indices de cambio.
8.- Planos Tangentes a z= f(x,y)
Supongamos que f(x,y) tiene derivadas parciales de primer orden continuas. Entonces el plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto P(a,b, f(a,b) ) es el plano que pasa por P que contiene las recta tangentes a las 2 curvas.
El vector tangente de este plano y la ecuación del plano tangente :
Si z= f(x,y) entonces existe:
4 derivadas parciales de segundo orden
8 derivadas parciales de tercer orden
2n derivadas parciales de "n" orden
Si w= f(x,y,z) entonces existe:
3n derivadas parciales de "n" orden
